Formelsammlung Physik – Grundlagen & Kinematik

Oct 19, 2026 · @Oleksii Petrenko

Alles aus Kapitel 1 und 2.1–2.6 eures Skripts, ohne Kreisbewegung (2.7). Konvention wie im Unterricht: y-Achse nach oben, g = 9,81 m/s², Vektoren als Spalten (x; y).

1 Grundlagen

Größe = Maßzahl · Einheit, z. B. l = 4 cm, also {l} = 4 und [l] = cm.

Abgeleitete Einheit, Beispiel aus F = m·a:

$$ 1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} $$

Weitere nützliche Zerlegungen für den Einheitencheck: 1 J = 1 N·m = 1 kg·m²/s², 1 W = 1 J/s, 1 Pa = 1 N/m².

Präfixe

Ångström: 1 Å = 10⁻¹⁰ m. Bei Potenzen der Einheit potenziert sich der Faktor mit: 1 cm² = 10⁻⁴ m², 1 cm³ = 10⁻⁶ m³, 1 min⁻² = 1/3600 s⁻².

Umrechnung km/h ↔ m/s: 1 m/s = 3,6 km/h. Also km/h ÷ 3,6 = m/s.

Schreibweisen

• Wissenschaftlich: a · 10ⁿ mit 1 ≤ |a| < 10, z. B. c = 2,998 · 10⁸ m/s
• Technisch: n ist Vielfaches von 3, 1 ≤ |a| < 1000, z. B. c = 299,8 · 10⁶ m/s
• Größenordnung = nächstliegende Zehnerpotenz

Gültige Ziffern (g. Z.)

• Zehnerpotenzen zählen nicht
• Führende Nullen zählen nicht (0,0150 hat 3 g. Z.)
• Alle anderen Ziffern zählen, auch Endnullen (149,600 hat 6 g. Z.)
• Ergebnis bekommt so viele g. Z. wie die ungenaueste gegebene Größe
• Explizite Fehlerangabe: r = (149,6 ± 2,5) · 10⁶ km; implizit bei 149,6 · 10⁶ km heißt ± 0,05 · 10⁶ km

Skalar oder Vektor

• Skalar (nur Betrag): Zeit, Masse, Temperatur, Strecke, Tempo, Energie
• Vektor (Betrag und Richtung): Ort r⃗, Geschwindigkeit v⃗, Beschleunigung a⃗, Kraft F⃗
• Tempo = Betrag der Geschwindigkeit: v = |v⃗|

Lösungsschema für Rechenaufgaben

1. Geg. / Ges. mit den Bezeichnungen aus der Aufgabe aufschreiben
2. Skizze (optional)
3. Modell wählen (gleichförmig, beschleunigt, freier Fall, Wurf …)
4. Formeln allgemein aufstellen, noch keine Zahlen einsetzen
5. So viele Gleichungen wie Unbekannte
6. Hilfsgrößen eliminieren (Einsetz- oder Gleichsetzverfahren)
7. Nach der gesuchten Größe auflösen
8. Zahlen mit Einheiten einsetzen
9. Einheitencheck
10. Größenordnungscheck

2 Gleichförmige Bewegung (v = const)

Die Geschwindigkeit ändert weder Betrag noch Richtung, also reicht eine Koordinate x(t). Start zur Zeit t₀ am Ort x₀ mit v₀:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x - x_0}{t - t_0} $$

$$ a(t) = 0 \qquad v(t) = v_0 \qquad x(t) = v_0\,(t - t_0) + x_0 $$

Mit t₀ = 0 und x₀ = 0 wird daraus das bekannte s = v · t.

• x(t)-Diagramm: Gerade, Steigung = v
• v(t)-Diagramm: waagrechte Linie, Fläche darunter = zurückgelegte Strecke Δx
• v < 0 heißt Rückwärtsbewegung (fallende Gerade im x(t)-Diagramm)

Einholen und Treffen (zwei Körper A und B): beide Ort-Zeit-Gleichungen aufstellen, gleichsetzen, nach t auflösen, t in eine Gleichung einsetzen.

$$ x_A(t_T) = x_B(t_T) $$

• Aufeinander zu (Abstand d): t = d / (v_A + v_B)
• Hinterher mit Vorsprung d: t = d / (v_A − v_B)
• Startet einer später, steht bei ihm (t − t₀) statt t

Mittlere und Momentangeschwindigkeit

$$ \bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \qquad v(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \dot x(t) = \frac{dx}{dt} $$

• Mittlere Geschwindigkeit = Steigung der Sekante im x(t)-Diagramm
• Momentangeschwindigkeit = Steigung der Tangente (Ableitung)
• Falle: halbe Strecke mit v₁, halbe mit v₂ ergibt nicht den Durchschnitt. Richtig ist v̄ = Gesamtstrecke / Gesamtzeit, hier v̄ = 2·v₁·v₂ / (v₁ + v₂). Nur bei halber Zeit je Tempo gilt v̄ = (v₁ + v₂) / 2.

3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (a = const)

Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit. a > 0 heißt schneller werden (bei v > 0), a < 0 heißt Bremsen (Verzögerung).

$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \dot v(t) = \ddot x(t) \qquad [a] = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} $$

Bewegungsgleichungen (Start zur Zeit t₀ am Ort x₀ mit v₀):

$$ \begin{aligned} a(t) &= a\\ v(t) &= a\,(t-t_0) + v_0\\ x(t) &= \tfrac12\,a\,(t-t_0)^2 + v_0\,(t-t_0) + x_0 \end{aligned} $$

Aus der Ruhe vom Ursprung (t₀ = 0, v₀ = 0, x₀ = 0): v = a·t und s = ½·a·t².

Zeitfreie Gleichung (t eliminiert, t₀ = 0). Nutzen, wenn keine Zeit gegeben oder gesucht ist:

$$ v^2 - v_0^2 = 2\,a\,(x - x_0) $$

Weg aus Durchschnittsgeschwindigkeit (Trapezfläche im v(t)-Diagramm). Nutzen, wenn a unbekannt ist:

$$ \Delta x = \frac{v_0 + v}{2}\,\Delta t $$

Typische Umstellungen

Diagramme

• a(t): waagrechte Linie; Fläche darunter = Δv
• v(t): Gerade, Steigung = a, Fläche = Δx
• x(t): Parabel; nach oben geöffnet bei a > 0, nach unten bei a < 0; Scheitel dort, wo v = 0

Reaktionsweg + Bremsweg: Während der Reaktionszeit t_R fährt das Auto gleichförmig weiter.

$$ s_{\text{Anhalte}} = v_0\,t_R + \frac{v_0^2}{2\,|a|} $$

Quadratische Gleichungen entstehen oft beim Auflösen nach t. Mitternachtsformel:

$$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Nur die physikalisch sinnvolle Lösung nehmen (meist t > 0 und nach dem Start).

Herleitung durch Integration (Differentialgleichung): Aus a(t) = a folgt durch Integrieren v(t) = a·(t − t₀) + v₀. Nochmals integrieren ergibt x(t). Die Integrationskonstanten sind die Anfangswerte v₀ und x₀.

Auffahren knapp vermeiden: A fährt mit v_A,0 hinter B (konstant v_B) und bremst bei Abstand d₀ mit dem Betrag a₀. Grenzfall: A erreicht v_B genau in dem Moment, in dem er B erreicht.

$$ a_0 = \frac{(v_{A,0} - v_B)^2}{2\,d_0} $$

Kein Aufprall, wenn die Verzögerung mindestens diesen Wert hat.

4 Freier Fall und senkrechter Wurf

Nur die Schwerkraft wirkt; die Beschleunigung hängt nicht von Masse oder Form ab. g liegt zwischen 9,78 m/s² (Äquator) und 9,83 m/s² (Pole), Standardwert g = 9,81 m/s². Bei y-Achse nach oben gilt a = −g.

Freier Fall aus Höhe y₀ (v₀ = 0):

$$ a(t) = -g \qquad v(t) = -g\,t \qquad y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2 + y_0 $$

$$ t_{\text{Fall}} = \sqrt{\frac{2\,y_0}{g}} \qquad |v_{\text{Aufprall}}| = \sqrt{2\,g\,y_0} \qquad h = \frac{v^2}{2\,g} $$

Senkrechter Wurf aus Höhe y₀ mit v₀ (v₀ > 0 nach oben, v₀ < 0 nach unten):

$$ a(t) = -g \qquad v(t) = -g\,t + v_0 \qquad y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2 + v_0\,t + y_0 $$

Diagramme: v(t) ist eine fallende Gerade mit Steigung −g und Nullstelle am Umkehrpunkt. y(t) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel am Umkehrpunkt.

Brunnen mit Schall (gestoppte Gesamtzeit T = Fallzeit + Schallzeit):

$$ T = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{c_{\text{Schall}}} $$

Lösen: √h = z substituieren, dann quadratische Gleichung in z.

5 Waagrechter und schiefer Wurf

Grundidee (Unabhängigkeitsprinzip): Horizontal und vertikal getrennt rechnen. x-Richtung: gleichförmig. y-Richtung: freier Fall bzw. senkrechter Wurf. Beide Bewegungen haben dieselbe Zeit t. Darum fällt ein waagrecht geworfener Körper genau so schnell wie ein fallen gelassener.

Koordinatenfreie Form (gilt für jeden Wurf):

$$ \vec r(t) = \tfrac12\,\vec a\,t^2 + \vec v_0\,t + \vec r_0 \qquad \vec v(t) = \vec a\,t + \vec v_0 \qquad \vec a = \begin{pmatrix}0\\-g\end{pmatrix} $$

Schiefer Wurf (Abwurfwinkel α, Höhe y₀)

$$ \vec v_0 = \begin{pmatrix} v_0\cos\alpha \\ v_0\sin\alpha \end{pmatrix} \qquad \vec r_0 = \begin{pmatrix}0\\y_0\end{pmatrix} $$

$$ \vec r(t) = \begin{pmatrix} v_0\cos\alpha\; t \\ -\tfrac12 g t^2 + v_0\sin\alpha\; t + y_0 \end{pmatrix} \qquad \vec v(t) = \begin{pmatrix} v_0\cos\alpha \\ -g\,t + v_0\sin\alpha \end{pmatrix} $$

Bahngleichung (t = x / (v₀ cos α) in y einsetzen), eine nach unten geöffnete Parabel:

$$ y(x) = -\frac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + \tan\alpha\; x + y_0 $$

Waagrechter Wurf (α = 0°)

$$ x(t) = v_0\,t \qquad y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2 + y_0 \qquad y(x) = -\frac{g}{2\,v_0^2}\,x^2 + y_0 $$

$$ t_A = \sqrt{\frac{2\,y_0}{g}} \qquad x_A = v_0\sqrt{\frac{2\,y_0}{g}} \qquad v_0 = x_A\sqrt{\frac{g}{2\,y_0}} $$

Auftreffgeschwindigkeit (jeder Wurf)

Die Bahngeschwindigkeit liegt tangential zur Bahn.

$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad \tan\beta = \frac{|v_y|}{v_x} $$

β ist der Winkel gegen die Horizontale (Auftreffwinkel). Ohne Zeit: |v| = √(v₀² + 2·g·y₀), weil v_x konstant bleibt und v_y² = v₀ᵧ² + 2·g·y₀ gilt.

Rückwärts rechnen (aus v_A und β auf den Abwurf): v_x = v_A·cos β bleibt konstant, v_y,A = −v_A·sin β, dann v_y,0 = v_y,A + g·t.

Affenschuss: Zielt man direkt auf einen Körper, der im Moment des Schusses fallen gelassen wird, trifft man immer. Beide fallen in derselben Zeit um ½·g·t² unter ihre geradlinige Bahn.

6 Diagramme und typische Fallen

Zwischen den Diagrammen wechseln: Nach unten (x → v → a) ableiten, also die Steigung ablesen. Nach oben (a → v → x) integrieren, also die Fläche ablesen.

• Fläche unter der t-Achse im v(t)-Diagramm zählt negativ (Rückwärtsbewegung)
• Abschnittsweise Bewegungen: Endwerte (t, v, x) eines Abschnitts sind die Startwerte des nächsten
• Ein Knick im x(t)-Diagramm bedeutet einen Sprung in v (nur in Idealisierung)
• Beim Skizzieren müssen die Kurvenart (Gerade, Parabel) und markante Punkte (Scheitel, Schnittpunkte, Nullstellen) stimmen

Typische Fallen

• km/h vor dem Rechnen in m/s umrechnen (÷ 3,6), Minuten in Sekunden
• Vorzeichen: Bremsen heißt a < 0, Fallen heißt a = −g bei y-Achse nach oben
• Bei Würfen erst v₀ in v₀ₓ und v₀ᵧ zerlegen; der Taschenrechner muss im DEG-Modus stehen
• Wurfweite x_A = v₀²·sin(2α)/g gilt nur, wenn Abwurf- und Auftreffhöhe gleich sind
• Durchschnittsgeschwindigkeit nie als Mittelwert der Tempi bilden, sondern Gesamtweg / Gesamtzeit
• Ergebnis auf die g. Z. der ungenauesten Angabe runden, Zwischenergebnisse genauer lassen
• Startet ein Körper später, x(t) mit (t − t₀) schreiben
• Beim Treffen/Einholen mit Beschleunigung: zwei Gleichungen (Ort gleich) und ggf. Geschwindigkeit gleich für “ganz knapp”